O enunciado define a função g: R^2to R por g(x,y)=x,y^32x^2+y^2 se (x,y)neq(0,0) e g(0,0)=0.
O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis: vamos verificar onde g é contínua, usando o conceito de limite e as propriedades de funções racionais.
Passo 2
Em qualquer ponto (x0,y0)neq(0,0) temos 2x0^2+y0^2>0. Assim
g(x,y)=x,y^32x^2+y^2
é quociente de polinômios sem divisão por zero, logo g é contínua para todo (x,y)neq(0,0).
Passo 3
Em (0,0) precisamos checar se
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)
existe e é igual a g(0,0)=0. Use coordenadas polares: escreva x=rcostheta, y=rsintheta. Então