Determine os pontos de continuidade de:
g(x, y)=clx y^32 x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função g: R^2to R por
g(x,y)=x,y^32x^2+y^2 se (x,y)neq(0,0) e g(0,0)=0.
O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis: vamos verificar onde g é contínua, usando o conceito de limite e as propriedades de funções racionais.

Passo 2

Em qualquer ponto (x0,y0)neq(0,0) temos 2x0^2+y0^2>0. Assim
g(x,y)=x,y^32x^2+y^2
é quociente de polinômios sem divisão por zero, logo g é contínua para todo (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Em (0,0) precisamos checar se
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)
existe e é igual a g(0,0)=0. Use coordenadas polares: escreva x=rcostheta, y=rsintheta. Então
g(rcostheta,rsintheta) =r^4costhetasin^3thetar^2l(2cos^2theta+sin^2thetar) =r^2,costhetasin^3theta2cos^2theta+sin^2theta
Note que 2cos^2theta+sin^2theta=1+cos^2theta>=1 e l|costhetasin^3thetar|<=1. Portanto
l|g(rcostheta,rsintheta)r|<= r^2
Como rto0 implica r^2to0, segue
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=0=g(0,0),
ou seja, g é contínua em (0,0).

Resposta

A função g é contínua em todo R^2.

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