Calcule a derivada das seguintes funções:
s(t)=(3 t^2+46 t^3-6)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para calcular a derivada da função s(t) = (3 t^2+46 t^3-6)^3 . Isso entra na matéria de Cálculo Diferencial, especificamente no estudo de derivadas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte interna da função, que é o que está dentro do parêntese:
f(t) = 3 t^2+46 t^3-6
Nossa função s(t) é [f(t)]^3 . Para derivar isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
s'(t) = 3 (3 t^2+46 t^3-6)^2 cdot f'(t)
Agora, precisamos encontrar f'(t) , que é a derivada do quociente 3 t^2+46 t^3-6 .

Passo 4

Para derivar f(t) = u(t)v(t) , usamos a regra do quociente:
f'(t) = u'(t) v(t) - u(t) v'(t)[v(t)]^2
Onde u(t) = 3 t^2 + 4 e v(t) = 6 t^3 - 6 .

Passo 5

Vamos calcular u'(t) e v'(t) :
u'(t) = ddt(3 t^2 + 4) = 6 t
v'(t) = ddt(6 t^3 - 6) = 18 t^2

Passo 6

Agora, aplicando na regra do quociente:
f'(t) = (6 t)(6 t^3 - 6) - (3 t^2 + 4)(18 t^2)(6 t^3 - 6)^2
Vamos simplificar o numerador:
= 36 t^4 - 36 t - 54 t^4 - 72 t^2(6 t^3 - 6)^2
= -18 t^4 - 72 t^2 - 36 t(6 t^3 - 6)^2

Passo 7

Agora, substituímos f'(t) na expressão de s'(t) :
s'(t) = 3 (3 t^2+46 t^3-6)^2 cdot -18 t^4 - 72 t^2 - 36 t(6 t^3 - 6)^2

Resposta

A derivada da função é:
s'(t) = 3 (3 t^2+46 t^3-6)^2 cdot -18 t^4 - 72 t^2 - 36 t(6 t^3 - 6)^2

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