Determine a maior solução para a equação
1+x2!+x^24!+x^36!+x^48!+cdots=0
Sugestão: cos (x)=sumn=0^+infty (-1)^n x^n(2 n)!

Passo 1

O enunciado pede as soluções reais de
1 + x2! + x^24! + x^36! + x^48! + cdots = 0
Isso é uma série de potências cuja soma podemos relacionar às funções hiperbólicas e trigonométricas conhecidas.

Passo 2

Reconhecemos que a série
sumk=0^+inftyx^k(2k)!
é exatamente a expansão em série de Taylor de cosh(y) avaliada em y=raizx, pois
cosh(y)=sumk=0^+inftyy^2k(2k)! Longrightarrow sumk=0^+inftyx^k(2k)! =coshl(raizxr)!

Passo 3

Para x>=0 temos cosh(raizx)>0, sem zeros reais. Para x<0 escrevemos raizx=iraiz-x e usamos cosh(i t)=cos(t). Assim, para x<0,
sumk=0^+inftyx^k(2k)! =coshl(iraiz-xr) =cosl(raiz-xr)

Passo 4

A equação vira
cosl(raiz-xr)=0,
cuja solução geral real é
raiz-x=pi2 + npi, n=0,1,2,dots Longrightarrow x=-l(pi2+npir)^2

Passo 5

Destas raízes, a maior (menos negativa) corresponde a n=0, ou seja
x=-l(tfracpi2r)^2 =-pi^24

Resposta

-pi^24

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