Determine os valores de " c " para que sumn=1^+infty 1(1+c)^n=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de c tais que a série
sumn=1^+infty 1(1+c)^n
converge para 2. O conteúdo é soma de uma série geométrica infinita, cujo termo genérico é 1(1+c)^n. Vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica e as condições de convergência.

Passo 2

Identificamos a razão da série geométrica como
r = 11+c
Para que a série infinita
sumn=1^+infty r^n
converja, precisamos de lvert rrvert<1, isto é,
lvert 1+crvert>1

Passo 3

Quando lvert rrvert<1, a soma da série é
sumn=1^+inftyr^n = r1-r
Impondo que essa soma seja igual a 2, temos
r1-r = 2
Resolvendo para r:
r = 2(1 - r) Longrightarrow r = 2 - 2r Longrightarrow 3r = 2 Longrightarrow r = 23

Passo 4

Voltando à definição de r,
11+c = 23 Longrightarrow 1+c = 32 Longrightarrow c = 12
Devemos ainda verificar a condição de convergência lvert1+crvert>1. Substituindo c=tfrac12, obtemos lvert1+tfrac12rvert=tfrac32>1, que satisfaz.

Resposta

c = tfrac12

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