Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=x^2 cos (x)(1+ln (x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^2cos(x)l(1+ln(x)r)
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto para três fatores e a derivada de ln(x).

Passo 2

Identificamos os três fatores de f:
u(x)=x^2, v(x)=cos(x), w(x)=1+ln(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada fator:
u'(x)=2x, v'(x)=-sin(x), w'(x)=1x

Passo 4

Pela regra do produto para três funções,
f'(x)=u'(x),v(x),w(x)+u(x),v'(x),w(x)+u(x),v(x),w'(x)
Substituindo,
f'(x) =2xcos(x)l(1+ln(x)r) +x^2l(-sin(x)r)l(1+ln(x)r) +x^2cos(x),1x

Passo 5

Agora simplificamos termo a termo:
2xcos(x)l(1+ln(x)r) -x^2sin(x)l(1+ln(x)r) +xcos(x)
Agrupando cos(x) nos termos que o têm em comum e fatorando x,
f'(x) =xcos(x)l(2(1+ln(x))+1r) -x^2(1+ln(x))sin(x),
f'(x) =xcos(x)l(3+2ln(x)r) -x^2(1+ln(x))sin(x)

Resposta

f'(x) =xcos(x)l(3+2ln(x)r) -x^2(1+ln(x))sin(x)

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