Questão 2. O volume de um cone circular reto é dado por V=13 pi R^2 H, onde R é o raio da base e H é a altura do cone. V, R e H são funções da variável t (tempo).
(i) Sabendo que V^prime(t)=[0,1 pi] m^3 / s e R^prime(t)=0,2 m / s, obtenha uma expressão para H^prime(t), em função de R e de H.
(1.5 ponto)
(ii) Obtenha o valor de H^prime(t^*), sabendo que: R(t^*)=10,2 m, no tempo t=t^* ; R(t0)=10 m e H(t0)=15 m, no tempo inicial t=t0.
( 1.0 ponto)
Sugestões: (i) Derivação implícita. Você deve usar a Regra do Produto para derivar R^2(t) cdot H(t) e a Regra da Cadeia para derivar R^2(t). (ii) A igualdade H(t)=H(t0)R(t0) R(t) é obtida por semelhança de triângulos.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o volume de um cone é
V(t)=13,pi,R^2(t),H(t)
e que V'(t) e R'(t) são dados. A meta (i) é achar uma fórmula para H'(t) em função de R,H,V',R', usando derivação implícita, regra do produto e da cadeia. Na parte (ii) a gente calcula numericamente H'(t^*) sabendo R(t^*), R(t0) e H(t0), usando a semelhança de triângulos.

Passo 2

Vamos derivar V(t)=tfrac13pi,R^2,H em relação a t.
  1. Regra do produto em R^2(t)cdot H(t).
  2. Regra da cadeia em R^2(t):
ddt[R^2]=2,R,R',
Então
V'=ddt(tfrac13pi,R^2,H) =tfrac13pi((2R,R'),H+R^2,H'),

Passo 3

Isolando H':
tfrac13pi,(2R,R'H+R^2H')=V' Longrightarrow 2R,R'H+R^2H'=3V'pi
Longrightarrow H'=tfrac3V'pi-2R,R'HR^2 =3V'pi,R^2-2,H,R'R,

Passo 4

Para (ii), pela semelhança de triângulos vale
H(t)R(t)=H(t0)R(t0)=1510=1,5 Longrightarrow H'=(1,5),R',
Como R'=0,2,m/s,
H'(t^*)=1,5times0,2=0,3 m/s

Resposta

(i) \quad H'(t)=3V'(t)pi,R^2(t)-2,H(t),R'(t)R(t).
(ii) \quad H'(t^*)=0,3 m/s,.

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