Calcule a derivada das seguintes funções:
(x^2+3)(x+1)

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função (x^2+3)(x+1). Isso faz parte do estudo de derivadas em cálculo, e para resolver vamos usar a regra do produto, que é essencial quando temos a derivada de duas funções multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, identifique as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. Vamos chamar u(x) = x^2 + 3 e v(x) = x + 1. Essas são as duas funções que multiplicamos para formar a função original.

Passo 3

A regra do produto diz que a derivada de u(x) cdot v(x) é igual a u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x). Ou seja, precisamos calcular a derivada de u(x), a derivada de v(x), e depois aplicar essa fórmula.

Passo 4

Vamos calcular u'(x). A função u(x) = x^2 + 3. A derivada de x^2 é 2x e a derivada de 3 é 0 (porque a derivada de uma constante é zero). Então:
u'(x) = 2x

Passo 5

Agora, vamos calcular v'(x). A função v(x) = x + 1. A derivada de x é 1 e a derivada de 1 é 0. Então:
v'(x) = 1

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = 2x cdot (x + 1) + (x^2 + 3) cdot 1

Passo 7

Agora, vamos simplificar essa expressão:
2x cdot (x + 1) = 2x^2 + 2x
(x^2 + 3) cdot 1 = x^2 + 3
Somando tudo:
f'(x) = 2x^2 + 2x + x^2 + 3 = 3x^2 + 2x + 3

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 3x^2 + 2x + 3

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