Calcule a derivada das seguintes funções:
x^3+2 x^2x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=x^3+2x^2x^2+1
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente: se f(x)=dfracu(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 2

Definimos as funções
u(x)=x^3+2x^2, v(x)=x^2+1
Calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x)=3x^2+4x, v'(x)=2x

Passo 3

Aplicando diretamente a regra do quociente, obtemos
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =(3x^2+4x)(x^2+1)-(x^3+2x^2)(2x)(x^2+1)^2

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos o numerador em etapas:
(3x^2+4x)(x^2+1)=3x^4+3x^2+4x^3+4x,
(x^3+2x^2)(2x)=2x^4+4x^3,
3x^4+3x^2+4x^3+4x ;-;(2x^4+4x^3) = x^4+3x^2+4x
Logo
f'(x) =x^4+3x^2+4x(x^2+1)^2

Passo 5

Podemos ainda factorar o numerador para obter uma forma mais feitinha:
x^4+3x^2+4x = x,(x^3+3x+4)
Assim a derivada final é
f'(x) =x,(x^3+3x+4)(x^2+1)^2

Resposta

f'(x)=x,(x^3+3x+4)(x^2+1)^2

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