Determine se a série é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^-13

Passo 1

O exercício pede para determinar se a série sumn=1^infty(-1)^n-1n^-1/3 é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente. O conteúdo envolve séries alternantes (teste de Leibniz) e testes de p-série para convergência absoluta.

Passo 2

Aplicando o teste de Leibniz para séries alternantes: definimos an = n^-1/3. Observamos que para todo n>=1, an >0, an+1 = (n+1)^-1/3 < n^-1/3 = an, ou seja, an é monótona decrescente, e ainda
limntoinftyan = limntoinftyn^-1/3 = 0

Passo 3

Pelo teste de Leibniz, como an>0, decrescente e tende a zero, a série alternada converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, estudamos
sumn=1^inftyl|(-1)^n-1n^-1/3r| = sumn=1^infty n^-1/3

Passo 5

Esta é uma p-série com p=1/3<=1, portanto diverge.

Resposta

A série converge, mas não converge absolutamente; logo é condicionalmente convergente.

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