Exercício 5. Determine f, g in S3 tais que
(b) (f circ g)^2 neq f^2 circ g^2

Passo 1

O enunciado pede permutações f,gin S3 tais que
(fcirc g)^2neq f^2circ g^2
O conteúdo aqui é a não comutatividade de S3. Em geral (fcirc g)^2=fcirc gcirc fcirc g enquanto f^2circ g^2=fcirc fcirc gcirc g, e em grupos não abelianos essas composições podem diferir.

Passo 2

Escolhemos duas transposições que não comutam em S3, por exemplo
f=(1,2), g=(2,3)
Elas satisfazem f^2=id e g^2=id, mas fcirc g gera um 3-ciclo.

Passo 3

Calculamos fcirc g. Para cada xin1,2,3:
g(1)=1,;f(1)=2;Rightarrow;(fcirc g)(1)=2,
g(2)=3,;f(3)=3;Rightarrow;(fcirc g)(2)=3,
g(3)=2,;f(2)=1;Rightarrow;(fcirc g)(3)=1
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fcirc g=(1,2,3)
Em seguida
(fcirc g)^2=(1,2,3)^2=(1,3,2)neqid

Passo 4

Como f e g são transposições, temos
f^2=id, g^2=id,
portanto
f^2circ g^2=idcircid=id

Passo 5

Comparando
(fcirc g)^2=(1,3,2)neq id=f^2circ g^2,
concluímos que a escolha funciona.

Resposta

Podemos tomar
f=(1,2), g=(2,3),
pois para elas (fcirc g)^2=(1,3,2)neqid=f^2circ g^2.

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