Calcule a derivada das seguintes funções:
x+2raizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função f(x) = x + 2raizx . Isso envolve o conteúdo de cálculo de derivadas, especificamente a regra de derivação de funções que são quocientes de outras funções. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com potências e aplicar a regra de derivada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Sabemos que raizx é o mesmo que x^1/2 . Então, podemos reescrever a função assim:
f(x) = x + 2x^1/2

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador x^1/2 . Isso nos dá:
f(x) = xx^1/2 + 2x^1/2
Simplificando cada fração usando propriedades das potências ( x^a / x^b = x^a - b ):
f(x) = x^1 - 1/2 + 2x^-1/2 = x^1/2 + 2x^-1/2

Passo 4

Agora que a função está simplificada, podemos aplicar a regra do poder para derivar cada termo. A regra do poder diz que a derivada de x^n é n cdot x^n-1 .
Derivando cada termo:
ddx x^1/2 = 12x^-1/2
ddx 2x^-1/2 = 2 cdot (-12)x^-3/2 = -x^-3/2

Passo 5

Juntando as derivadas dos termos, temos:
f'(x) = 12x^-1/2 - x^-3/2
Podemos reescrever isso em termos de raízes para deixar a resposta mais clara:
f'(x) = 12raizx - 1x^3/2

Resposta

A derivada da função x + 2raizx é:
f'(x) = 12raizx - 1x^3/2

Exercícios relacionados