O enunciado trabalha no grupo simétrico S3, formado por todas as permutações de três elementos. Temos duas permutações
f=1&2&32&1&3, g=1&2&32&3&1,
e precisamos mostrar que gerando potências de g e compondo com f obtemos exatamente os seis elementos de S3. Para isso vamos usar noções de notação cíclica de permutações, cálculo de produto de permutações e o fato de que lvert S3rvert=6.
Passo 2
Vamos reescrever f e g em notação de ciclos. Para f temos
f(1)=2,;f(2)=1,;f(3)=3
o que equivale ao ciclo
f=(1;2)
Para g temos
g(1)=2,;g(2)=3,;g(3)=1
o que é o ciclo
g=(1;2;3)
Passo 3
Calculemos g^2. Como g=(1;2;3), aplicar g duas vezes gives
g^2=(1;3;2),
pois 1mapsto2mapsto3, 2mapsto3mapsto1, 3mapsto1mapsto2.
Passo 4
Agora as composições fcirc g e fcirc g^2. Lembrando que em permutações a composição fcirc g significa primeiro g, depois f:
Para fcirc g: 1stackrelgmapsto2stackrelfmapsto1, 2stackrelgmapsto3stackrelfmapsto3, 3stackrelgmapsto1stackrelfmapsto2.
Logo
fcirc g=(2;3)
Para fcirc g^2: 1stackrelg^2mapsto3stackrelfmapsto3, 2stackrelg^2mapsto1stackrelfmapsto2, 3stackrelg^2mapsto2stackrelfmapsto1.
Logo
fcirc g^2=(1;3)
Passo 5
Reunindo tudo, obtemos estes seis elementos em notação cíclica:
1, (1;2), (1;2;3), (1;3;2), (2;3), (1;3)
São exatamente a identidade, as três transposições e as duas 3-ciclos de S3. Como lvert S3rvert=6, esses seis já esgotam todo o grupo.