Exercício 8. Sejam G=S3 e f, g in S3 dadas por
f=(lll 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 ) e g=(lll 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 )
Mostre que S3=1, f, g, g^2, f circ g, f circ g^2

Passo 1

O enunciado trabalha no grupo simétrico S3, formado por todas as permutações de três elementos. Temos duas permutações
f=1&2&32&1&3, g=1&2&32&3&1,
e precisamos mostrar que gerando potências de g e compondo com f obtemos exatamente os seis elementos de S3. Para isso vamos usar noções de notação cíclica de permutações, cálculo de produto de permutações e o fato de que lvert S3rvert=6.

Passo 2

Vamos reescrever f e g em notação de ciclos. Para f temos
f(1)=2,;f(2)=1,;f(3)=3
o que equivale ao ciclo
f=(1;2)
Para g temos
g(1)=2,;g(2)=3,;g(3)=1
o que é o ciclo
g=(1;2;3)

Passo 3

Calculemos g^2. Como g=(1;2;3), aplicar g duas vezes gives
g^2=(1;3;2),
pois 1mapsto2mapsto3, 2mapsto3mapsto1, 3mapsto1mapsto2.

Passo 4

Agora as composições fcirc g e fcirc g^2. Lembrando que em permutações a composição fcirc g significa primeiro g, depois f:
  • Para fcirc g:
    1stackrelgmapsto2stackrelfmapsto1,
    2stackrelgmapsto3stackrelfmapsto3,
    3stackrelgmapsto1stackrelfmapsto2.
    Logo
    fcirc g=(2;3)
  • Para fcirc g^2:
    1stackrelg^2mapsto3stackrelfmapsto3,
    2stackrelg^2mapsto1stackrelfmapsto2,
    3stackrelg^2mapsto2stackrelfmapsto1.
    Logo
    fcirc g^2=(1;3)

Passo 5

Reunindo tudo, obtemos estes seis elementos em notação cíclica:
1, (1;2), (1;2;3), (1;3;2), (2;3), (1;3)
São exatamente a identidade, as três transposições e as duas 3-ciclos de S3. Como lvert S3rvert=6, esses seis já esgotam todo o grupo.

Resposta

S3=,1,;f,;g,;g^2,;fcirc g,;fcirc g^2

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