Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=(ln (2^x+x^2+32 x))^2 (x notin[-1,0])

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(lnl(2^x+x^2+tfrac32xr)r)^2,
para xnotin[-1,0]. O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia em duas camadas: primeiro na função quadrática externa umapsto u^2 e depois na função logarítmica vmapstoln v. Também precisaremos da derivada de 2^x e de x^-1.

Passo 2

Definimos as funções internas para organizar a derivação:
g(x) = 2^x + x^2 + tfrac32x, h(x) = lnl(g(x)r), f(x) = l(h(x)r)^2

Passo 3

Usando a regra da cadeia para f(x) = [h(x)]^2, temos
f'(x) = 2,h(x),h'(x)

Passo 4

Para obter h'(x), aplicamos a regra da cadeia a h(x)=ln(g(x)), o que dá
h'(x) = g'(x)g(x)

Passo 5

Agora calculamos g'(x). Como
g(x) = 2^x + x^2 + tfrac32x^-1,
temos
ddxl(2^xr) = 2^xln 2, ddxl(x^2r) = 2x, ddxl(tfrac32x^-1r) = tfrac32cdot(-1)x^-2 = -tfrac32x^2
Somando,
g'(x) = 2^xln 2 ;+; 2x ;-; 32x^2

Passo 6

Juntando tudo:
h'(x) = g'(x)g(x) = 2^xln 2 + 2x - tfrac32x^2 2^x + x^2 + tfrac32x,
e portanto
f'(x) = 2,h(x),h'(x) = 2,lnl(g(x)r);cdot; 2^xln 2 + 2x - tfrac32x^2 2^x + x^2 + tfrac32x

Resposta

boxed f'(x) = 2,ln!l(2^x+x^2+tfrac32xr) ;cdot; 2^xln 2 ;+; 2x ;-; dfrac32x^2 2^x + x^2 + dfrac32x (xnotin[-1,0])

Exercícios relacionados