Calcule os seguintes limites:
lim x +infty(x+1x+2)^x+3

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto+inftyl(x+1x+2r)^x+3,
que é uma indeterminação do tipo (1)^infty. Vamos usar a ideia de reescrever a base na forma 1 + algo pequeno e aplicar o limite fundamental
limttoinftyl(1+atr)^t=e^a

Passo 2

Reescrevemos a base como
x+1x+2 =1-1x+2
Então a potência fica
l(1-1x+2r)^x+3

Passo 3

Para usar o limite fundamental, separamos a expressão em dois fatores:
l(1-tfrac1x+2r)^x+3 =l(1-tfrac1x+2r)^x+2 ;times; l(1-tfrac1x+2r)

Passo 4

Reconhecemos que
limxtoinftyl(1-tfrac1x+2r)^x+2 =e^-1,
pois é da forma l(1+tfracatr)^t com a=-1 e t=x+2.

Passo 5

Além disso,
limxtoinftyl(1-tfrac1x+2r) =1
Multiplicando os dois resultados, o limite original é
e^-1times1=e^-1

Resposta

1e

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