Calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=arccos (raizsen(x)) (x in[0, pi])

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=arccosl(raizsen(x)r),
no intervalo xin[0,pi].
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Escrevemos
g(x)=fl(u(x)r),
onde f(z)=arccos(z) e u(x)=raizsen(x).
Pela regra da cadeia,
g'(x)=f'l(u(x)r)cdot u'(x)
Além disso sabemos que
f'(z)=-1raiz1-z^2

Passo 3

Agora derivamos u(x)=raizsen(x)=(sen(x))^1/2.
Usando a regra da cadeia e a potência,
u'(x)=12(sen(x))^-1/2cdotcos(x) =cos(x)2raizsen(x)

Passo 4

Substituindo em
g'(x)=f'l(u(x)r),u'(x)
temos
g'(x) =-1raiz1-l(raizsen(x)r)^2 ;cdot;cos(x)2raizsen(x)
Como l(raizsen(x)r)^2=sen(x), isso simplifica para
g'(x) =-cos(x)2raizsen(x),raiz1-sen(x)

Resposta

g'(x)=-cos(x)2raizsen(x),raiz1-sen(x), xin(0,pi)

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