Calcule os limites:
LIMITE FUNDAMENTAL
Icule os limites, usando os limites notaveis se for possivel.
Icule os limites, usando os limites notaveis se for possivel.
Passo 1
O enunciado pede para calcular três limites envolvendo indeterminações e funções exponenciais/trigonométricas:
Conteúdo: limites notáveis, forma
, uso de séries/Taylor equivalentes e identidades trigonométricas. Não vou pular etapas: explico cada transformação e o porquê.
Passo 2
Primeiro limite:
.
- Repare que é da forma
, pois quando temos e o expoente . - Pra resolver
, usamos a reescrita
- Agora calculamos o limite do expoente:
Isso é
, então usamos regra de L’Hôpital: derive topo e fundo
– topo:
– fundo: .
Logo
– topo:
– fundo:
Logo
- Portanto o limite original é
.
Passo 3
Segundo limite:
.
- Use
. Assim
- Como
, . Lembre do limite notável
. - Basta colocar
, então
logo o limite vale
.
Passo 4
Terceiro limite:
.
- Use a identidade
.
Então
- Além disso
, logo
- Fazendo a diferença:
- Quando
, . Então o limite é
.