Calcule os limites: S E M LIMITE FUNDAMENTAL
Icule os limites, usando os limites notaveis se for possivel.
l lim x -4 raiz[x+4](x+5)^2 lim x infty[x(raiz[x]e-1)] lim x 0(11-cos x-2sen^2 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular três limites envolvendo indeterminações e funções exponenciais/trigonométricas:
  1. limxto -4raiz[x+4](x+5)^2
  2. limxto inftyxl(raiz[x]e-1r)
  3. limxto 0l(11-cos x-2sin^2 xr)
Conteúdo: limites notáveis, forma 1^infty, uso de séries/Taylor equivalentes e identidades trigonométricas. Não vou pular etapas: explico cada transformação e o porquê.

Passo 2

Primeiro limite: limxto -4raiz[x+4](x+5)^2.
  1. Repare que é da forma 1^infty, pois quando xto -4 temos x+5to1 e o expoente 1/(x+4)toinfty.
  2. Pra resolver 1^infty, usamos a reescrita
raiz[x+4](x+5)^2 =exp!l(lnl((x+5)^2r),/,!(x+4)r) =exp!l(tfrac2ln(x+5),x+4r)
  1. Agora calculamos o limite do expoente:
limxto -42ln(x+5)x+4
Isso é 0/0, então usamos regra de L’Hôpital: derive topo e fundo
– topo: tfracddx[2ln(x+5)]=tfrac2x+5
– fundo: tfracddx[x+4]=1.
Logo
limxto -42ln(x+5)x+4 =limxto -42/(x+5)1 =21=2
  1. Portanto o limite original é
    exp(2)=e^2.

Passo 3

Segundo limite: limxto inftyxl(raiz[x]e-1r).
  1. Use raiz[x]e=e^1/x. Assim
xl(raiz[x]e-1r)=xl(e^1/x-1r)
  1. Como xtoinfty, 1/xto0. Lembre do limite notável
    limuto0e^u-1u=1.
  2. Basta colocar u=1/x, então
xl(e^1/x-1r) =e^u-1ue uto0,
logo o limite vale 1.

Passo 4

Terceiro limite: .
  1. Use a identidade .
    Então
  1. Além disso , logo
  1. Fazendo a diferença:
  1. Quando , . Então o limite é
    .

Resposta

  • limxto -4raiz[x+4](x+5)^2=e^2
  • limxto inftyxl(raiz[x]e-1r)=1
  • limxto 0l(11-cos x-2sin^2 xr)=-tfrac12

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