Calcule os seguintes limites:
lim x 0 e^x-e^3 xsen(4 x)-sen(7 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0e^x-e^3xsin(4x)-sin(7x)
O conteúdo envolvido é limite de razão com forma indeterminada 0/0, e vamos usar a regra de L\’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
numerador: e^0-e^0=1-1=0,
denominador: sin(0)-sin(0)=0-0=0.
Portanto temos 0/0 e podemos aplicar L\’Hôpital, diferenciando numerador e denominador.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador em relação a x:
derivada do numerador:
ddxl(e^x-e^3xr)=e^x-3e^3x,
derivada do denominador:
ddxl(sin(4x)-sin(7x)r) =4cos(4x)-7cos(7x)

Passo 4

O limite passa a ser
limxto0e^x-3e^3x4cos(4x)-7cos(7x)
Agora fazemos xto0:
numerador em 0: e^0-3e^0=1-3=-2,
denominador em 0: 4cos(0)-7cos(0)=4-7=-3.
Logo o limite é
-2-3=23

Resposta

23

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