Calcule a derivada das seguintes funções.
(d) F(x)=integralx^pi raiz1+sen t d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
O conteúdo da matéria envolve cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções definidas por integrais. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se temos uma função definida por uma integral, como F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , então a derivada de em relação a é:
No nosso caso, e . Vamos identificar cada parte.

Passo 3

Identificando as funções:
  • , então
  • , então (porque é uma constante)

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo as funções identificadas:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que , então:
Substituindo de volta na expressão:

Resposta

A derivada da função F'(x) = -raiz1 + sen x é:

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