Calcule as seguintes integrais:
© integral cos ^4(2 t) d t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de cos^4(2 t) em relação a t. Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas que nos ajudem a simplificar a potência do cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade que reduz a potência do cosseno. Sabemos que:
cos^2 x = 1 + cos(2x)2
Como temos cos^4(2 t), podemos reescrever isso como (cos^2(2 t))^2.

Passo 3

Aplicando a identidade, temos:
cos^4(2 t) = ( 1 + cos(4 t)2 )^2

Passo 4

Agora, vamos expandir o quadrado:
( 1 + cos(4 t)2 )^2 = 1 + 2 cos(4 t) + cos^2(4 t)4

Passo 5

Precisamos agora integrar cada termo separadamente:
integral cos^4(2 t) , dt = 14 integral 1 , dt + 12 integral cos(4 t) , dt + 14 integral cos^2(4 t) , dt

Passo 6

Vamos resolver cada integral:
  1. integral 1 , dt = t
  2. integral cos(4 t) , dt = 14 sin(4 t)
  3. Para integral cos^2(4 t) , dt, usamos novamente a identidade:
cos^2(4 t) = 1 + cos(8 t)2
Portanto:
integral cos^2(4 t) , dt = 12 integral 1 , dt + 12 integral cos(8 t) , dt = t2 + 116 sin(8 t)

Passo 7

Agora, substituindo de volta:
integral cos^4(2 t) , dt = 14 t + 12 cdot 14 sin(4 t) + 14 ( t2 + 116 sin(8 t) ) + C
Simplificando:
= 14 t + 18 sin(4 t) + 18 t + 164 sin(8 t) + C

Passo 8

Somando os termos semelhantes:
14 t + 18 t = 38 t
Então:
integral cos^4(2 t) , dt = 38 t + 18 sin(4 t) + 164 sin(8 t) + C

Resposta

integral cos^4(2 t) , dt = 38 t + 18 sin(4 t) + 164 sin(8 t) + C

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