Seja série de potências. Determine os intervalos de convergência e divergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série de potências: . O que a gente precisa descobrir aqui são os intervalos onde essa série converge (ou seja, dá certo e soma um valor finito) e onde ela diverge (não dá certo). Para isso, vamos usar um método chamado Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar esses intervalos de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , a gente calcula o limite de quando vai para o infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão na nossa série, temos:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .
Passo 5
Então, concluímos que não há nenhum valor de que faça a série divergir. Ela converge para todos os números reais.
Resposta
A série converge para todo . Ou seja, o intervalo de convergência é e não há intervalos de divergência.