Seja sumn=0^infty x^nn! série de potências. Determine os intervalos de convergência e divergência da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série de potências: . O que a gente precisa descobrir aqui são os intervalos onde essa série converge (ou seja, dá certo e soma um valor finito) e onde ela diverge (não dá certo). Para isso, vamos usar um método chamado Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar esses intervalos de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , a gente calcula o limite de quando vai para o infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão na nossa série, temos:
an = x^nn!
Então,
an+1an = x^n+1(n+1)!x^nn! = x^n+1 cdot n!x^n cdot (n+1)! = xn+1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando limn to infty | xn+1 | = limn to infty |x|n+1 = 0 tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para qualquer valor de .

Passo 5

Então, concluímos que não há nenhum valor de que faça a série divergir. Ela converge para todos os números reais.

Resposta

A série converge para todo . Ou seja, o intervalo de convergência é e não há intervalos de divergência.

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