Encontre a transformada inversa de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada inversa de uma função de Laplace, que é essencialmente descobrir a função no tempo que corresponde à função no domínio da frequência. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, especificamente a Transformada Inversa. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais para decompor a função e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que precisamos transformar de volta:
Aqui, temos uma fração racional onde o numerador é
e o denominador é
. Nosso objetivo é simplificar isso para facilitar a aplicação da transformada inversa.
Passo 3
Para simplificar
, vamos usar o método de frações parciais. Isso envolve expressar
como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de transformar de volta. Assumimos que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, primeiro multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, expandimos o lado direito:
Juntando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 6
Primeiro, da primeira equação
, podemos expressar
.
Substituindo
na terceira equação:
Agora, da segunda equação:
Substituindo
na equação
:
Agora, encontramos
:
E finalmente,
:
Passo 7
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado. Vamos lembrar de algumas transformadas básicas:
Aplicando isso:
Passo 9
Simplificando os termos finais:
Resposta
A transformada inversa de
é: