Encontre a transformada inversa de cada uma das seguintes funções: F(s) = (2 - 5s) / ((s - 6)(s^2 + 11))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada inversa de uma função de Laplace, que é essencialmente descobrir a função no tempo que corresponde à função no domínio da frequência. A matéria envolvida aqui é a Transformada de Laplace, especificamente a Transformada Inversa. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais para decompor a função e depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que precisamos transformar de volta:
Aqui, temos uma fração racional onde o numerador é e o denominador é . Nosso objetivo é simplificar isso para facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 3

Para simplificar , vamos usar o método de frações parciais. Isso envolve expressar como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de transformar de volta. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de , e , primeiro multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, expandimos o lado direito:
Juntando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 6

Primeiro, da primeira equação , podemos expressar .
Substituindo na terceira equação:
Agora, da segunda equação:
Substituindo na equação :
Agora, encontramos :
E finalmente, :

Passo 7

Com os valores de , e encontrados, podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo separado. Vamos lembrar de algumas transformadas básicas:
Aplicando isso:

Passo 9

Simplificando os termos finais:

Resposta

A transformada inversa de é:

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