Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente sumn=1^+infty(-1)^n 3^2 n+1n^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra usar o teste da raiz pra determinar se a série sumn=1^+infty (-1)^n 3^2n+1n^2n é convergente ou divergente. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular o limite envolvido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Ele diz que, para uma série sum an, a gente calcula:
L = limn to infty raiz[n]|an|
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não dá resposta e precisamos usar outro método.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = (-1)^n 3^2n+1n^2n
Como estamos usando o teste da raiz, vamos considerar o valor absoluto desse termo:
|an| = 3^2n+1n^2n

Passo 4

Vamos aplicar o teste da raiz calculando raiz[n]|an|:
raiz[n]|an| = raiz[n]3^2n+1n^2n = 3^2n+1nn^2
Simplificando:
3^2n+1n = 3^2 + 1n = 3^2 cdot 3^1n = 9 cdot 3^1n
E como n to infty, 3^1n to 1, então:
9 cdot 1n^2 = 9n^2

Passo 5

Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty 9n^2 = 0

Passo 6

Como L = 0 < 1, pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^+infty (-1)^n 3^2n+1n^2n é convergente pelo teste da raiz.

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