Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra usar o teste da raiz pra determinar se a série
é convergente ou divergente. Então, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular o limite envolvido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da raiz. Ele diz que, para uma série
, a gente calcula:
- Se L < 1, a série converge absolutamente.
- Se L > 1, a série diverge.
- Se L = 1, o teste não dá resposta e precisamos usar outro método.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série:
Como estamos usando o teste da raiz, vamos considerar o valor absoluto desse termo:
Passo 4
Vamos aplicar o teste da raiz calculando
:
Simplificando:
E como
,
, então:
Passo 5
Agora, calculamos o limite:
Passo 6
Como
, pelo teste da raiz, a série converge absolutamente.
Resposta
A série
é convergente pelo teste da raiz.