Calcule a derivada das seguintes funções:
f(p)=\sqrt[3]{p^{2}-\frac{3}{2} p}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(p)=\sqrt[3]{p^{2}-\tfrac{3}{2}p}.
O conteúdo principal aqui é o uso da regra da cadeia, pois temos uma potência fracionária aplicada a um polinômio. Vamos reescrever a função em forma de potência e depois aplicar a derivada de uma potência desse tipo e a derivada do polinômio interno.

Passo 2

Reescrevendo em forma de potência, temos
f(p)=\bigl(p^{2}-\tfrac{3}{2}p\bigr)^{\tfrac{1}{3}}.
Para uma função genérica u(p)^{m}, vale
\frac{d}{dp}\bigl(u(p)^{m}\bigr)=m\,u(p)^{m-1}\,u'(p).
Aqui m=\tfrac{1}{3} e u(p)=p^{2}-\tfrac{3}{2}p.

Passo 3

Calculamos a derivada do interno u(p)=p^{2}-\tfrac{3}{2}p:
u'(p)=\frac{d}{dp}\Bigl(p^{2}\Bigr)-\frac{d}{dp}\Bigl(\tfrac{3}{2}p\Bigr) =2p-\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
f'(p) =\frac{1}{3}\,\bigl(p^{2}-\tfrac{3}{2}p\bigr)^{\tfrac{1}{3}-1} \;\times\;(2p-\tfrac{3}{2}) =\frac{1}{3}\,\bigl(p^{2}-\tfrac{3}{2}p\bigr)^{-\tfrac{2}{3}}\,(2p-\tfrac{3}{2}).

Resposta

f'(p) =\frac{2p-\tfrac{3}{2}}{3\,\bigl(p^{2}-\tfrac{3}{2}p\bigr)^{\tfrac{2}{3}}}.

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