Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções (usando o teste da \mathbf{1}^{\mathbf{a}} derivada):
f(x)=4 x^{3}-8 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede que, usando o teste da primeira derivada, a gente determine para a função
f(x) = 4x^{3} - 8x^{2}
quais os intervalos em que ela cresce e decresce e onde estão seus extremos locais. Vamos precisar de noções de derivada, resolução de equação e análise de sinal.

Passo 2

Calculamos a derivada f'(x) usando a regra de potência termo a termo:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\bigl(8x^{2}\bigr) = 12x^{2} - 16x = 4x\,(3x - 4).

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
4x\,(3x-4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad 3x-4=0\;\Rightarrow\;x=\tfrac{4}{3}.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=4x(3x-4) em cada intervalo:
  • Para x<0: 4x<0 e 3x-4<0, logo f'(x)>0.
  • Para 0<x<\tfrac{4}{3}: 4x>0 e 3x-4<0, logo f'(x)<0.
  • Para x>\tfrac{4}{3}: 4x>0 e 3x-4>0, logo f'(x)>0.

Passo 5

Dessa análise de sinal:
  • f'(x)>0 em \bigl(-\infty,0\bigr) e em \bigl(\tfrac{4}{3},\infty\bigr), então f cresce nesses intervalos.
  • f'(x)<0 em \bigl(0,\tfrac{4}{3}\bigr), então f decresce aí.

Passo 6

Pelo teste da primeira derivada nos pontos críticos:
  • Em x=0: f' muda de positivo para negativo \Rightarrow máximo local. f(0)=4\cdot0^{3}-8\cdot0^{2}=0.
  • Em x=\tfrac{4}{3}: f' muda de negativo para positivo \Rightarrow mínimo local. f\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) =4\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{3}-8\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2} =\frac{256}{27}-\frac{384}{27} =-\frac{128}{27}.

Resposta

Intervalos de crescimento: \bigl(-\infty,0\bigr) e \bigl(\tfrac{4}{3},\infty\bigr)
Intervalo de decrescimento: \bigl(0,\tfrac{4}{3}\bigr)
Máximo local em \bigl(0,0\bigr)
Mínimo local em \bigl(\tfrac{4}{3},-\tfrac{128}{27}\bigr)

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