Seja a equação de Berthelot
P=R T /(\bar{V}-b)-a / T \bar{V}^{2}
Expresse \underline{a}, \underline{b} e \underline{R} em termos de constantes críticas e escreva a equação de estado em termos de variáveis reduzidas.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Berthelot
P \;=\; \frac{R\,T}{\bar{V}-b}\;-\;\frac{a}{T\,\bar{V}^{2}}\,.
Queremos achar a, b e R em função das constantes críticas P_{c}, T_{c}, \bar{V}_{c} e depois escrever a mesma equação usando as variáveis reduzidas
\displaystyle P_{r}=\frac{P}{P_{c}},
\displaystyle T_{r}=\frac{T}{T_{c}} e
\displaystyle v_{r}=\frac{\bar{V}}{\bar{V}_{c}}.
Para isso, vamos usar as condições de ponto crítico:
\displaystyle\frac{\partial P}{\partial \bar{V}}=0 e
\displaystyle\frac{\partial^{2}P}{\partial \bar{V}^{2}}=0 em
\;(T,\bar V)=(T_{c},\bar V_{c}).

Passo 2

Calculemos a primeira derivada:
\frac{\partial P}{\partial \bar{V}} =\;-\frac{R\,T}{(\bar{V}-b)^{2}} \;+\;\frac{2\,a}{T\,\bar{V}^{3}}.
Em (T_{c},\bar{V}_{c}) impomos
\left.-\frac{R\,T}{(\bar{V}-b)^{2}} +\frac{2\,a}{T\,\bar{V}^{3}}\right|_{T_{c},\bar{V}_{c}}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{R\,T_{c}}{(\bar{V}_{c}-b)^{2}} =\frac{2\,a}{T_{c}\,\bar{V}_{c}^{3}}.

Passo 3

A segunda derivada é
\frac{\partial^{2}P}{\partial \bar{V}^{2}} =\frac{2\,R\,T}{(\bar{V}-b)^{3}} -\frac{6\,a}{T\,\bar{V}^{4}}.
Em (T_{c},\bar{V}_{c}) impomos zero e obtemos
\frac{2\,R\,T_{c}}{(\bar{V}_{c}-b)^{3}} =\frac{6\,a}{T_{c}\,\bar{V}_{c}^{4}}.
Dividindo essa última relação pela do passo anterior, cancelamos R\,T_{c}/(T_{c}\,a) e achamos
2\,(\bar{V}_{c}-b) =3\,\bar{V}_{c} \;\Longrightarrow\; b=\frac{\bar{V}_{c}}{3}.

Passo 4

Substituindo b=\bar{V}_{c}/3 em
\displaystyle\frac{R\,T_{c}}{(\bar{V}_{c}-b)^{2}} =\frac{2\,a}{T_{c}\,\bar{V}_{c}^{3}},
como \bar{V}_{c}-b=2\bar{V}_{c}/3, vem
R\,T_{c} =\frac{2\,a}{T_{c}\,\bar{V}_{c}^{3}} \Bigl(\tfrac{2\bar{V}_{c}}{3}\Bigr)^{2} =\frac{8\,a}{9\,T_{c}\,\bar{V}_{c}} \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{9}{8}\,R\,T_{c}^{2}\,\bar{V}_{c}.
Depois, usamos a condição P_{c}=R\,T_{c}/(\bar{V}_{c}-b)-a/(T_{c}\,\bar{V}_{c}^{2}). Substituindo b e a
P_{c} =\frac{R\,T_{c}}{2\bar{V}_{c}/3} -\frac{\tfrac{9}{8}R\,T_{c}^{2}\,\bar{V}_{c}}{T_{c}\,\bar{V}_{c}^{2}} =\frac{3R\,T_{c}}{2\bar{V}_{c}} -\frac{9R\,T_{c}}{8\bar{V}_{c}} =\frac{3R\,T_{c}}{8\bar{V}_{c}}.
Desse modo
R=\frac{8\,P_{c}\,\bar{V}_{c}}{3\,T_{c}}, \qquad a=3\,P_{c}\,T_{c}\,\bar{V}_{c}^{2}, \qquad b=\frac{\bar{V}_{c}}{3}.

Passo 5

Agora introduzimos as variáveis reduzidas e escrevemos
P_{r}=\frac{P}{P_{c}}, \quad T_{r}=\frac{T}{T_{c}}, \quad v_{r}=\frac{\bar{V}}{\bar{V}_{c}}.
Da equação original
P=\frac{R\,T}{\bar{V}-b} -\frac{a}{T\,\bar{V}^{2}}
dividimos ambos os lados por P_{c} e substituímos
R, a, b e \bar{V}=v_{r}\,\bar{V}_{c}.
Após simplificar, chega-se a
P_{r} =\frac{8}{3}\,\frac{T_{r}}{v_{r}-\tfrac13} \;-\;\frac{3}{T_{r}\,v_{r}^{2}}
ou, colocando num denominador só no primeiro termo,
P_{r} =\frac{8\,T_{r}}{3\,v_{r}-1} -\frac{3}{T_{r}\,v_{r}^{2}}.

Resposta

\displaystyle b=\frac{\bar{V}_{c}}{3},\quad a=3\,P_{c}\,T_{c}\,\bar{V}_{c}^{2},\quad R=\frac{8\,P_{c}\,\bar{V}_{c}}{3\,T_{c}}.
A equação de estado em variáveis reduzidas é
P_{r} =\frac{8\,T_{r}}{3\,v_{r}-1} -\frac{3}{T_{r}\,v_{r}^{2}},
com
\;P_{r}=P/P_{c},
\;T_{r}=T/T_{c} e
\;v_{r}=\bar{V}/\bar{V}_{c}.

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