Calcule a derivada das seguintes funções:
f(t)=t^{\frac{2}{3}}\left(2 t-t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=t^{\frac{2}{3}}\bigl(2t - t^2\bigr).
O conteúdo necessário é a regra do produto e a regra da potência.

Passo 2

Definimos
u(t)=t^{\frac{2}{3}}, \quad v(t)=2t - t^2.

Passo 3

Calculamos u'(t) e v'(t) usando a regra da potência e a derivada de polinômios:
u'(t)=\frac{2}{3}\,t^{-\frac{1}{3}}, \quad v'(t)=2 - 2t.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t) =\frac{2}{3}\,t^{-\frac{1}{3}}\bigl(2t - t^2\bigr) + t^{\frac{2}{3}}\bigl(2 - 2t\bigr).

Passo 5

Reescrevemos cada termo com expoentes positivos e somamos:
\frac{2}{3}\,t^{-\frac{1}{3}}(2t - t^2) =\frac{2}{3}\bigl(2t^{\frac{2}{3}} - t^{\frac{5}{3}}\bigr) =\frac{4}{3}\,t^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3}\,t^{\frac{5}{3}},
t^{\frac{2}{3}}(2-2t) =2\,t^{\frac{2}{3}} - 2\,t^{\frac{5}{3}}.
Somando-se:
f'(t) =\Bigl(\frac{4}{3}+2\Bigr)t^{\frac{2}{3}} -\Bigl(\frac{2}{3}+2\Bigr)t^{\frac{5}{3}} =\frac{10}{3}\,t^{\frac{2}{3}}-\frac{8}{3}\,t^{\frac{5}{3}}.

Passo 6

Fatoramos \frac{2}{3}t^{\frac{2}{3}} para simplificar:
f'(t) =\frac{2}{3}\,t^{\frac{2}{3}}\bigl(5 - 4t\bigr).

Resposta

f'(t)=\frac{2}{3}\,t^{\frac{2}{3}}\bigl(5 - 4t\bigr).

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