Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=x \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x\sin\bigl(x^{2}\bigr). Para calcular f'(x), vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos
u(x)=x
e
v(x)=\sin\bigl(x^{2}\bigr).
Pela regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Derivando cada termo, obtemos
u'(x)=1
e, aplicando a regra da cadeia em v(x)=\sin\bigl(x^{2}\bigr), temos
v'(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot2x =2x\cos\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'v+uv', resulta
f'(x)=1\cdot\sin\bigl(x^{2}\bigr) +x\cdot\bigl(2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\bigr) =\sin\bigl(x^{2}\bigr)+2x^{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr).

Resposta

f'(x)=\sin\bigl(x^{2}\bigr)+2x^{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr)

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