Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=x-x^{2} \cos x

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede sua derivada:
f(x)=x-x^{2}\cos x.
O que precisa ser encontrado é f'(x), a derivada de f em função de x. As informações relevantes são os dois termos que compõem f(x): o primeiro termo é x e o segundo termo é x^{2}\cos x.

Passo 2

Antes de calcular, vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (explico como se estivesse resolvendo passo a passo na prova):
  • Regra da soma/diferença: a derivada de uma soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas. Ou seja, \big(u\pm v\big)'=u'\pm v'.
  • Regra do poder (caso particular): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Então \big(x^{2}\big)'=2x.
  • Derivada do cosseno: \big(\cos x\big)'=-\sin x.
  • Regra do produto: se temos w(x)=u(x)\,v(x), então
w'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Vou aplicar essas regras diretamente ao segundo termo x^{2}\cos x, visto como produto u(x)=x^{2} e v(x)=\cos x.

Passo 3

Derivo o primeiro termo x. Usando a regra do poder para n=1 (ou sabendo que a derivada de x é 1), obtemos:
\big(x\big)'=1.

Passo 4

Agora derivo o segundo termo x^{2}\cos x aplicando a regra do produto. Defino u(x)=x^{2} e v(x)=\cos x.
Calculo u'(x) e v'(x):
u'(x)=\big(x^{2}\big)'=2x,
v'(x)=\big(\cos x\big)'=-\sin x.
Aplicando a regra do produto:
\big(x^{2}\cos x\big)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2x\cos x + x^{2}(-\sin x).
Simplificando:
\big(x^{2}\cos x\big)'=2x\cos x - x^{2}\sin x.

Passo 5

Voltando à função completa f(x)=x - x^{2}\cos x e usando a linearidade da derivada (regra da diferença), juntamos as derivadas dos termos:
f'(x)=\big(x\big)'-\big(x^{2}\cos x\big)'.
Substituindo os resultados obtidos:
f'(x)=1 - \big(2x\cos x - x^{2}\sin x\big).
Distribuindo o sinal negativo e simplificando:
f'(x)=1 - 2x\cos x + x^{2}\sin x.

Resposta

f'(x)=1-2x\cos x+x^{2}\sin x

Exercícios relacionados