Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede sua derivada:
O que precisa ser encontrado é
, a derivada de
em função de
. As informações relevantes são os dois termos que compõem
: o primeiro termo é
e o segundo termo é
.
Passo 2
Antes de calcular, vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (explico como se estivesse resolvendo passo a passo na prova):
- Regra da soma/diferença: a derivada de uma soma ou diferença é a soma ou diferença das derivadas. Ou seja,
. - Regra do poder (caso particular): a derivada de
é . Então . - Derivada do cosseno:
. - Regra do produto: se temos
, então
Vou aplicar essas regras diretamente ao segundo termo
, visto como produto
e
.
Passo 3
Derivo o primeiro termo
. Usando a regra do poder para
(ou sabendo que a derivada de
é
), obtemos:
Passo 4
Agora derivo o segundo termo
aplicando a regra do produto. Defino
e
.
Calculo e
:
Calculo
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
Voltando à função completa
e usando a linearidade da derivada (regra da diferença), juntamos as derivadas dos termos:
Substituindo os resultados obtidos:
Distribuindo o sinal negativo e simplificando: