Considere a função
.
i) Calcule a derivada
e a segunda derivada
.
ii) Encontre os pontos críticos de
, ou seja, os pontos onde
.
iii) Quais são os pontos de máximo/mínimo locais?
iv) Quais são os pontos de máximo/mínimo globais?
v) Considerando apenas o intervalo
, quais são os pontos de máximo/mínimo absolutos?
i) Calcule a derivada
ii) Encontre os pontos críticos de
iii) Quais são os pontos de máximo/mínimo locais?
iv) Quais são os pontos de máximo/mínimo globais?
v) Considerando apenas o intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede:
i) as derivadas e
,
ii) os pontos críticos ( ),
iii) classificação de máximo ou mínimo locais,
iv) máximo ou mínimo globais,
v) máximos/mínimos absolutos no intervalo .
i) as derivadas
ii) os pontos críticos (
iii) classificação de máximo ou mínimo locais,
iv) máximo ou mínimo globais,
v) máximos/mínimos absolutos no intervalo
Passo 2
Para obter a primeira derivada usamos a regra do poder: derivada de
é
e de
é
. Logo,
Em seguida, derivamos
para achar a segunda derivada:
Passo 3
Pontos críticos são aqueles em que
. Resolvendo
temos
Passo 4
Para classificar se esse ponto é máximo ou mínimo local, avaliamos
. Como
segue que em
a função tem um mínimo local. Não há ponto de máximo local pois a parábola abre para cima.
Passo 5
Como
para todo
, a parábola abre para cima e o único mínimo local em
é também mínimo global. Não há máximo global (a função cresce sem limite).
Passo 6
No intervalo fechado
comparamos os valores em
,
e
:
Portanto, em
o mínimo absoluto é em
e o máximo absoluto em
.
Resposta
i)
ii)
Ponto crítico:
Ponto crítico:
iii)
Mínimo local em ; não há máximo local.
Mínimo local em
iv)
Mínimo global em ; não há máximo global.
Mínimo global em
v)
No intervalo , mínimo absoluto em
e máximo absoluto em
.
No intervalo