Considere a função f(x)=x^2-4 x+7.
i) Calcule a derivada f^prime e a segunda derivada f^prime prime.
ii) Encontre os pontos críticos de f, ou seja, os pontos onde f^prime(x)=0.
iii) Quais são os pontos de máximo/mínimo locais?
iv) Quais são os pontos de máximo/mínimo globais?
v) Considerando apenas o intervalo [0,10], quais são os pontos de máximo/mínimo absolutos?

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x)=x^2-4x+7
e pede:
i) as derivadas f' e f'',
ii) os pontos críticos ( f'(x)=0),
iii) classificação de máximo ou mínimo locais,
iv) máximo ou mínimo globais,
v) máximos/mínimos absolutos no intervalo [0,10].

Passo 2

Para obter a primeira derivada usamos a regra do poder: derivada de x^2 é 2x e de -4x é -4. Logo,
f'(x)=2x-4
Em seguida, derivamos f'(x) para achar a segunda derivada:
f''(x)=2

Passo 3

Pontos críticos são aqueles em que f'(x)=0. Resolvendo
2x-4=0
temos
x=2

Passo 4

Para classificar se esse ponto é máximo ou mínimo local, avaliamos f''(2). Como
f''(2)=2>0,
segue que em x=2 a função tem um mínimo local. Não há ponto de máximo local pois a parábola abre para cima.

Passo 5

Como f''(x)=2>0 para todo x, a parábola abre para cima e o único mínimo local em x=2 é também mínimo global. Não há máximo global (a função cresce sem limite).

Passo 6

No intervalo fechado [0,10] comparamos os valores em x=0, x=2 e x=10:
f(0)=0^2-4cdot0+7=7, f(2)=2^2-4cdot2+7=3, f(10)=10^2-4cdot10+7=67
Portanto, em [0,10] o mínimo absoluto é em x=2 e o máximo absoluto em x=10.

Resposta

i)
f'(x)=2x-4
f''(x)=2
ii)
Ponto crítico: x=2
iii)
Mínimo local em x=2; não há máximo local.
iv)
Mínimo global em x=2; não há máximo global.
v)
No intervalo [0,10], mínimo absoluto em x=2 e máximo absoluto em x=10.

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