Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^x^2+ln x

Passo 1

O exercício pede para calcular a derivada da função f(x)=e^x^2+ln x. Esse conteúdo envolve a regra da cadeia para funções exponenciais e a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Definimos a parte interna da exponencial como u(x)=x^2+ln x, de modo que f(x)=e^u(x). Sabemos que a derivada de e^u(x) é e^u(x),u'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x):\n ddx(x^2)=2x e ddx(ln x)=1x. Assim,\n u'(x)=2x+1x

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:\n f'(x)=e^u(x)cdot u'(x)=e^x^2+ln x(2x+1x)

Passo 5

Para simplificar, note que e^x^2+ln x=e^x^2,e^ln x=x,e^x^2. Então:\n$$f’(x)=x,e{x2}\left(2x+\frac{1}{x}\right)=(2x2+1)e{x^2}.
$$

Resposta

f'(x)=e^x^2+ln x(2x+1x)

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