Seja R=R(u, v) uma função diferenciável, em que u=u(x, y, z) e v=v(x, y, z) são também funções diferenciáveis. Seja R(u, v)=e^(2 u^2+3 v^2), em que u=3 x+y+z, v=2 x-y-2 z. Utilize a Regra da Cadeia encontrada no item (a) para determinar partial Rpartial x, partial Rpartial y e partial Rpartial z quando x=y=z=1.

Passo 1

O enunciado define
R(u,v)=e^l(2u^2+3v^2r)
com
u=3x+y+z e v=2x-y-2z,
e pede partial Rpartial x, partial Rpartial y e partial Rpartial z em (x,y,z)=(1,1,1).
O conteúdo é a Regra da Cadeia para funções compostas de várias variáveis, junto com cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de R em relação a u e v. Como
R(u,v)=e^l(2u^2+3v^2r),
temos
partial Rpartial u = ddul(2u^2+3v^2r),e^(2u^2+3v^2) = 4u,e^(2u^2+3v^2),
partial Rpartial v = ddvl(2u^2+3v^2r),e^(2u^2+3v^2) = 6v,e^(2u^2+3v^2)

Passo 3

Agora as derivadas parciais de u e v em relação a x,y,z:
ux = 3, uy = 1, uz = 1,
vx = 2, vy = -1, vz = -2

Passo 4

Pela Regra da Cadeia para partial Rpartial x, partial Rpartial y e partial Rpartial z:
partial Rpartial x = partial Rpartial u,ux + partial Rpartial v,vx,
partial Rpartial y = partial Rpartial u,uy + partial Rpartial v,vy,
partial Rpartial z = partial Rpartial u,uz + partial Rpartial v,vz

Passo 5

Avaliamo em (x,y,z)=(1,1,1):
u(1,1,1)=3+1+1=5, v(1,1,1)=2-1-2=-1,
R(5,-1)=e^(2cdot5^2+3cdot(-1)^2)=e^(50+3)=e^53
Logo
partial Rpartial u|(5,-1)=4cdot5,e^53=20e^53, partial Rpartial v|(5,-1)=6cdot(-1),e^53=-6e^53
Substituindo em cada derivada:
partial Rpartial x|(1,1,1)=(20e^53)cdot3+(-6e^53)cdot2=(60-12)e^53=48e^53,
partial Rpartial y|(1,1,1)=(20e^53)cdot1+(-6e^53)cdot(-1)=(20+6)e^53=26e^53,
partial Rpartial z|(1,1,1)=(20e^53)cdot1+(-6e^53)cdot(-2)=(20+12)e^53=32e^53

Resposta

partial Rpartial x(1,1,1)=48e^53, partial Rpartial y(1,1,1)=26e^53, partial Rpartial z(1,1,1)=32e^53

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