Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=x^{x} \cdot 1,25 Pontos

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^{x}\cdot 1,25. O conteúdo aqui é derivar uma função da forma x^{x}, o que exige reescrever x^{x} em termos da função exponencial e usar a regra da cadeia. Além disso, nota que 1,25 é constante, então podemos extraí-la na hora de derivar.

Passo 2

Escrevemos
f(x)=1,25\;\bigl(x^{x}\bigr).
Como 1,25 é constante, vale
f'(x)=1,25\;\frac{d}{dx}\bigl(x^{x}\bigr).

Passo 3

Para derivar g(x)=x^{x}, reescrevemos
g(x)=x^{x}=\exp\bigl(\ln(x^{x})\bigr)=\exp\bigl(x\ln x\bigr).
Definimos h(x)=x\ln x, assim g(x)=\exp\bigl(h(x)\bigr).

Passo 4

Aplica-se a regra da cadeia:
g'(x)=\exp\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Como h(x)=x\ln x é produto, usa-se a regra do produto:
h'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x +1.
Logo
g'(x)=\exp\bigl(x\ln x\bigr)\,(\ln x+1).

Passo 5

Voltando a f'(x):
f'(x)=1,25\;g'(x) =1,25\;\exp\bigl(x\ln x\bigr)\,(\ln x+1).
E como \exp(x\ln x)=x^{x}, concluímos

Resposta

f'(x)=1,25\,x^{x}\,(\ln x+1).

Exercícios relacionados