2, 5 Pontos Considere a função
. Determine, caso existam, os pontos críticos de
e verifique se são pontos de máximo ou mínimo local. A função
possui ponto de máximo ou mínimo absoluto? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede (a) os pontos críticos, (b) classificação de cada ponto como máximo ou mínimo local e (c) se há extremos absolutos.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda, testes de concavidade e análise de comportamento em infinitos.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda, testes de concavidade e análise de comportamento em infinitos.
Passo 2
Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada primeira
e resolvemos
O discriminante é
logo as raízes são
isto é
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Para classificar cada ponto, usamos a segunda derivada
Em
:
logo
é côncava para baixo e
é ponto de máximo local.
Em :
Em
logo
é côncava para cima e
é ponto de mínimo local.
Passo 4
Para verificar extremos absolutos, examinamos os limites em infinitos:
Como a função cresce sem limite para
e decresce sem limite para
, não há máximo nem mínimo absoluto.
Resposta
Os pontos críticos são
(máximo local) e
(mínimo local).
Não existe ponto de máximo nem de mínimo absoluto.
Não existe ponto de máximo nem de mínimo absoluto.