2, 5 Pontos Considere a função p(x)=x^{3}+x^{2}-x+1. Determine, caso existam, os pontos críticos de p e verifique se são pontos de máximo ou mínimo local. A função p possui ponto de máximo ou mínimo absoluto? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
p(x)=x^{3}+x^{2}-x+1
e pede (a) os pontos críticos, (b) classificação de cada ponto como máximo ou mínimo local e (c) se há extremos absolutos.
Conteúdo: derivadas primeira e segunda, testes de concavidade e análise de comportamento em infinitos.

Passo 2

Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada primeira
p'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+x^{2}-x+1\bigr)=3x^{2}+2x-1
e resolvemos
3x^{2}+2x-1=0.
O discriminante é
\Delta=(2)^{2}-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16,
logo as raízes são
x=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2\cdot3}=\frac{-2\pm4}{6},
isto é
x_{1}=\frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3}, \quad x_{2}=\frac{-2-4}{6}=-1.
Portanto, os pontos críticos são x=-1 e x=\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Para classificar cada ponto, usamos a segunda derivada
p''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+2x-1\bigr)=6x+2.
Em x=-1:
p''(-1)=6(-1)+2=-6+2=-4<0,
logo p é côncava para baixo e x=-1 é ponto de máximo local.
Em x=\tfrac{1}{3}:
p''\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=6\cdot\tfrac{1}{3}+2=2+2=4>0,
logo p é côncava para cima e x=\tfrac{1}{3} é ponto de mínimo local.

Passo 4

Para verificar extremos absolutos, examinamos os limites em infinitos:
\lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty, \quad \lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty.
Como a função cresce sem limite para +\infty e decresce sem limite para -\infty, não há máximo nem mínimo absoluto.

Resposta

Os pontos críticos são x=-1 (máximo local) e x=\tfrac{1}{3} (mínimo local).
Não existe ponto de máximo nem de mínimo absoluto.

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