A função \Gamma:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} é definida por
\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} \mathrm{~d} x
Para \alpha>0, mostre que
a): \Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha), \alpha>0.1,25 Pontos
b): \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1} e^{-\theta x} \mathrm{~d} x=\frac{\Gamma(\alpha)}{\theta^{\alpha}}, \alpha>0 e \theta>0.1,25 Pontos

Passo 1

O enunciado apresenta a função Gamma
\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x,\quad \alpha>0,
e pede duas propriedades:
a) a relação de recorrência \Gamma(\alpha+1)=\alpha\,\Gamma(\alpha),
b) a forma escalada \displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-\theta x}\,\mathrm{d}x=\Gamma(\alpha)/\theta^{\alpha}.
Para (a) vamos usar integração por partes em uma integral imprópria, e para (b) faremos mudança de variável.

Passo 2

Para provar (a), note que
\Gamma(\alpha+1)=\int_{0}^{\infty}x^{(\alpha+1)-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-x}\,\mathrm{d}x.
Aplicamos integração por partes em \int_{0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-x}\,\mathrm{d}x escolhendo
u = x^{\alpha},\quad \mathrm{d}v = e^{-x}\,\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}u=\alpha\,x^{\alpha-1}\,\mathrm{d}x,\quad v=-e^{-x}.
Então
\int_{0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-x}\,\mathrm{d}x =\Bigl[-x^{\alpha}e^{-x}\Bigr]_{0}^{\infty} +\alpha\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x.
Como x^{\alpha}e^{-x}\to0 em x\to0 e x\to\infty, o termo de fronteira vale zero, restando
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x =\alpha\,\Gamma(\alpha).

Passo 3

Para provar (b), comece com
I=\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-\theta x}\,\mathrm{d}x,
faça a mudança de variável t=\theta x, logo x=t/\theta e \mathrm{d}x=\mathrm{d}t/\theta. Os limites permanecem 0 a \infty, então
I =\int_{0}^{\infty}\Bigl(\frac{t}{\theta}\Bigr)^{\alpha-1}e^{-t}\,\frac{\mathrm{d}t}{\theta} =\frac{1}{\theta^{\alpha}}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t =\frac{\Gamma(\alpha)}{\theta^{\alpha}}.

Resposta

(a) \Gamma(\alpha+1)=\alpha\,\Gamma(\alpha).
(b) \displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1}e^{-\theta x}\,\mathrm{d}x=\frac{\Gamma(\alpha)}{\theta^{\alpha}}.

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