A função
é definida por
Para
, mostre que
a):
Pontos
b):
e
Pontos
a):
b):
Passo 1
O enunciado apresenta a função Gamma
e pede duas propriedades:
a) a relação de recorrência ,
b) a forma escalada .
Para (a) vamos usar integração por partes em uma integral imprópria, e para (b) faremos mudança de variável.
a) a relação de recorrência
b) a forma escalada
Para (a) vamos usar integração por partes em uma integral imprópria, e para (b) faremos mudança de variável.
Passo 2
Para provar (a), note que
Aplicamos integração por partes em
escolhendo
Então
Como
em
e
, o termo de fronteira vale zero, restando
Passo 3
Para provar (b), comece com
faça a mudança de variável
, logo
e
. Os limites permanecem
a
, então
Resposta
(a)
(b)
(b)