Determine a solução das seguintes EDO’s:
(2 pontos) $x^{2} y^{\prime \prime}+7 x y^{\prime}+13 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Cauchy–Euler
x^{2}y''+7x\,y'+13y=0.
Para resolver, vamos usar o método de equações de Euler, que consiste em assumir uma solução do tipo
y = x^{r}.

Passo 2

Substituindo y=x^{r} em cada termo:
y' = r\,x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)\,x^{r-2}.
Logo
x^{2}y'' = r(r-1)\,x^{r}, \quad 7x\,y' = 7r\,x^{r}, \quad 13y = 13\,x^{r}.

Passo 3

Somando-os na equação original, obtemos a equação característica
r(r-1) + 7r + 13 = 0
ou seja
r^{2} - r + 7r +13 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} +6r +13 = 0.

Passo 4

Resolvendo
r = \frac{-6 \pm \sqrt{6^{2} -4\cdot1\cdot13}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 -52}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = -3 \pm 2\,i.

Passo 5

Como as raízes são complexas r = \alpha \pm \beta i com \alpha=-3 e \beta=2, a forma geral da solução é
y(x) = x^{\alpha}\bigl[C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr].

Passo 6

Substituindo \alpha=-3 e \beta=2, concluímos que a solução geral é
\boxed{y(x) = x^{-3}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(2\ln x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(2\ln x\bigr)\Bigr),}
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = x^{-3}\bigl(C_{1}\cos(2\ln x)+C_{2}\sin(2\ln x)\bigr).

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