Calcule a derivada das seguintes funções:
g(x)=\frac{1+\sqrt{x}}{x} \cdot 1,25 Pontos

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x) = \frac{1 + \sqrt{x}}{x} \cdot 1{,}25.
O conteúdo envolvido é regra do produto (aqui um fator constante) e regras de potenciação e soma. Vamos usar que derivada de x^{n} é n\,x^{n-1} e que constantes saem da derivada.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão de g(x) escrevendo tudo em potências de x. Temos
\frac{1 + \sqrt{x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x^{1/2}}{x} = x^{-1} + x^{-1/2}.
Logo
g(x) = 1{,}25\bigl(x^{-1} + x^{-1/2}\bigr).

Passo 3

Agora calculamos g'(x) aplicando a derivada termo a termo, lembrando que a constante 1{,}25 pode sair da derivada:
g'(x) = 1{,}25\bigl(\tfrac{d}{dx}x^{-1} + \tfrac{d}{dx}x^{-1/2}\bigr).
Usamos \tfrac{d}{dx}x^{n} = n\,x^{n-1}. Portanto
\tfrac{d}{dx}x^{-1} = -1\cdot x^{-2},\quad \tfrac{d}{dx}x^{-1/2} = -\tfrac12\cdot x^{-3/2}.

Passo 4

Substituindo essas derivadas em g'(x), obtemos
g'(x) = 1{,}25\Bigl(-x^{-2} - \tfrac12\,x^{-3/2}\Bigr).
Distribuindo o 1{,}25, fica
g'(x) = -1{,}25\,x^{-2} - 0{,}625\,x^{-3/2}.

Passo 5

Por fim, podemos reescrever em termos de potências positivas no denominador:
g'(x) = -\frac{1{,}25}{x^{2}} \;-\; \frac{0{,}625}{x^{3/2}}.

Resposta

g'(x) = -\frac{1{,}25}{x^{2}} \;-\; \frac{0{,}625}{x^{3/2}}.

Exercícios relacionados