Determine a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\frac{\ln x}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\ln x}{\cos x}
Esse é um problema de derivação de quociente, em que vamos usar a regra
\Bigl(\frac{u}{v}\Bigr)'=\frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=\ln x \quad\text{e}\quad v(x)=\cos x.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\frac{1}{x}, \quad v'(x)=-\sin x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{\frac{1}{x}\cos x - (\ln x)(-\,\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\frac{\cos x}{x}+\ln x\,\sin x}{\cos^2 x}.

Resposta

f'(x)=\frac{\cos x + x\,\ln x\,\sin x}{x\,\cos^2 x}.

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