Determine a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\ln \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\bigl(\operatorname{sen}x\bigr).
Aqui vamos usar o fato de que a derivada de \ln u é u'/u e a derivada de \operatorname{sen}x é \cos x, aplicando a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=\operatorname{sen}x, \quad v(u)=\ln u,
de modo que f(x)=v\bigl(u(x)\bigr). Pela regra da cadeia:
f'(x)=v'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).

Passo 3

Calculamos cada derivada:
v'(u)=\frac{1}{u}, \qquad u'(x)=\cos x.
Substituindo em f'(x), obtemos
f'(x) =\frac{1}{\operatorname{sen}x}\,\cdot\,\cos x =\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}.

Passo 4

Por fim, lembramos que
\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}=\cot x,
portanto a derivada se escreve de forma mais compacta como
f'(x)=\cot x.

Resposta

f'(x)=\cot x.

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