Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Dados relevantes: a função é o produto de duas partes dependentes de : a parte
e a parte
. A única pergunta é: encontrar
, a derivada de
em função de
.
Dados relevantes: a função é o produto de duas partes dependentes de
Passo 2
Regra que vamos usar (produto): se
, então
Explicando: a derivada do produto é a soma de “derivada da primeira vezes a segunda” mais “primeira vezes derivada da segunda”. Isso é obrigatório sempre que duas funções dependentes de
são multiplicadas.
Passo 3
Identificamos as duas partes do produto:
(observe que usei
para
; são a mesma coisa). Agora calculamos
.
Passo 4
Derivada de
:
Explicação: a derivada de uma constante multiplicando
é a constante; a derivada de
em relação a
é
, então
.
Passo 5
Derivada de
. Vamos mostrar passo a passo usando a identidade
:
Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
é
Agora expressamos isso em termos de funções trigonométricas padrão:
Lembrete:
e
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
que achamos:
Simplificando o sinal:
Passo 7
Fatorando
para uma forma compacta: