Calcule a derivada das seguintes funções:
G(v)=5 v \operatorname{cosec} v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \displaystyle G(v)=5v\operatorname{cosec}v.
Dados relevantes: a função é o produto de duas partes dependentes de v: a parte 5v e a parte \operatorname{cosec}v. A única pergunta é: encontrar G'(v), a derivada de G em função de v.

Passo 2

Regra que vamos usar (produto): se H(v)=u(v)\,w(v), então
H'(v)=u'(v)\,w(v)+u(v)\,w'(v).
Explicando: a derivada do produto é a soma de “derivada da primeira vezes a segunda” mais “primeira vezes derivada da segunda”. Isso é obrigatório sempre que duas funções dependentes de v são multiplicadas.

Passo 3

Identificamos as duas partes do produto:
u(v)=5v,\qquad w(v)=\csc v
(observe que usei \csc v para \operatorname{cosec}v; são a mesma coisa). Agora calculamos u'(v).

Passo 4

Derivada de u(v)=5v:
u'(v)=5.
Explicação: a derivada de uma constante multiplicando v é a constante; a derivada de v em relação a v é 1, então 5\cdot 1=5.

Passo 5

Derivada de w(v)=\csc v. Vamos mostrar passo a passo usando a identidade \csc v=(\sin v)^{-1}:
w(v)=(\sin v)^{-1}.
Aplicamos a regra da cadeia: a derivada de (\sin v)^{-1} é
w'(v)=-1\cdot(\sin v)^{-2}\cdot(\cos v) = -\frac{\cos v}{\sin^2 v}.
Agora expressamos isso em termos de funções trigonométricas padrão:
-\frac{\cos v}{\sin^2 v} = -\left(\frac{1}{\sin v}\right)\left(\frac{\cos v}{\sin v}\right) = -\csc v\cot v.
Lembrete: \cot v=\dfrac{\cos v}{\sin v} e \csc v=\dfrac{1}{\sin v}.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto:
G'(v)=u'(v)w(v)+u(v)w'(v).
Substituindo u',u,w,w' que achamos:
G'(v)=5\cdot\csc v + 5v\cdot\bigl(-\csc v\cot v\bigr).
Simplificando o sinal:
G'(v)=5\csc v - 5v\csc v\cot v.

Passo 7

Fatorando 5\csc v para uma forma compacta:
G'(v)=5\csc v\bigl(1 - v\cot v\bigr).

Resposta

G'(v)=5\csc v - 5v\csc v\cot v

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