Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=-\frac{1}{2} \cos ^{2}\left(3 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = -\tfrac{1}{2}\,\cos^{2}\bigl(3x^{2}\bigr).
Aqui vamos usar a regra da cadeia duas vezes: primeiro para o quadrado e depois para o cosseno.

Passo 2

Definimos duas funções internas para aplicar a cadeia em cascata:
u(x)=\cos\bigl(3x^{2}\bigr) e
g(u)=-\tfrac12\,u^{2}.
Então
f(x)=g\bigl(u(x)\bigr)
e
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Calculamos g'(u). Como g(u)=-\tfrac12\,u^{2}, tem-se
g'(u)=-u.

Passo 4

Agora derivamos u(x)=\cos\bigl(3x^{2}\bigr). Pela cadeia,
u'(x) = -\sin\bigl(3x^{2}\bigr)\;\cdot\;\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr).

Passo 5

A derivada de 3x^{2} é
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=6x,
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u'(x) = -\sin\bigl(3x^{2}\bigr)\cdot 6x = -6x\,\sin\bigl(3x^{2}\bigr).

Passo 6

Substituindo em f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x), obtemos
f'(x) = \bigl(-u(x)\bigr)\,\bigl(-6x\,\sin(3x^{2})\bigr) = 6x\,u(x)\,\sin(3x^{2}) =6x\,\cos(3x^{2})\,\sin(3x^{2}).
Opcionalmente, usando a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, podemos escrever
f'(x)=3x\,\sin\bigl(6x^{2}\bigr).

Resposta

f'(x)=6x\,\sin\bigl(3x^{2}\bigr)\,\cos\bigl(3x^{2}\bigr) \quad\text{(ou)}\quad f'(x)=3x\,\sin\bigl(6x^{2}\bigr).

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