Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{4 \sqrt{x}}{x^{2}-2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{4\sqrt{x}}{x^{2}-2}.
O conteúdo envolvido é derivação de quociente e potenciação (potência fracionária). Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos f(x) como produto de potências:
f(x)=4\,x^{\tfrac12}\,(x^{2}-2)^{-1}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=4\Bigl((x^{\tfrac12})'\,(x^{2}-2)^{-1}+x^{\tfrac12}\,((x^{2}-2)^{-1})'\Bigr).
Aqui
(x^{\tfrac12})'=\tfrac12\,x^{-\tfrac12}, \quad ((x^{2}-2)^{-1})'=-1\,(x^{2}-2)^{-2}\cdot(2x)=-2x\,(x^{2}-2)^{-2}.

Passo 4

Substituindo essas derivadas:
f'(x)=4\Bigl(\tfrac12\,x^{-\tfrac12}\,(x^{2}-2)^{-1}-2x\;x^{\tfrac12}\,(x^{2}-2)^{-2}\Bigr) =2\,x^{-\tfrac12}\,(x^{2}-2)^{-1}-8\,x^{\tfrac32}\,(x^{2}-2)^{-2}.

Passo 5

Colocamos tudo sobre o mesmo denominador \,x^{\tfrac12}(x^{2}-2)^{2}:
f'(x) =\frac{2\,(x^{2}-2)-8x^{2}}{x^{\tfrac12}(x^{2}-2)^{2}} =\frac{-6x^{2}-4}{x^{\tfrac12}(x^{2}-2)^{2}} =-\frac{2\,(3x^{2}+2)}{\sqrt{x}\,(x^{2}-2)^{2}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{2\,(3x^{2}+2)}{\sqrt{x}\,(x^{2}-2)^{2}}.

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