Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
(c) f(x, y)=5 x^{3} y^{4}+4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=5x^{3}y^{4}+4
e pede para verificar se ela é homogênea, ou seja, se existe um número n tal que, para todo real t,
f(tx,ty)=t^{n}f(x,y).

Passo 2

Vamos calcular f(tx,ty):
f(tx,ty)=5\,(tx)^{3}(ty)^{4}+4 =5\,t^{3}x^{3}\;t^{4}y^{4}+4 =5\,t^{7}x^{3}y^{4}+4.

Passo 3

Para ser homogênea de grau n precisaríamos ter
f(tx,ty)=t^{n}\bigl(5x^{3}y^{4}+4\bigr) =5\,t^{n}x^{3}y^{4}+4\,t^{n}.
Mas do cálculo obtivemos
f(tx,ty)=5\,t^{7}x^{3}y^{4}+4\quad\bigl(\neq 5\,t^{n}x^{3}y^{4}+4\,t^{n}\bigr)
para qualquer n, pois o termo constante “ +4” não escala com t. Logo não há n que faça a igualdade, então f não é homogênea.

Resposta

A função f(x,y)=5x^{3}y^{4}+4 não é homogênea.

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