Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo)
f(x)=\operatorname{arccos} (\operatorname{arcsen}(x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada (e também a derivada segunda) da função dada. A função fornecida é
f(x)=\operatorname{arccos}\big(\arcsin(x)\big).
Informações que temos e que vamos usar:
  • A função interna é \arcsin(x).
  • A função externa é \operatorname{arccos}(u) com u=\arcsin(x).
  • Queremos f'(x) e f''(x).

Passo 2

Relembrando as regras que usaremos (com explicação didática e sem pular etapas):
  • Regra da cadeia: se f(x)=F(G(x)), então
f'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Isto significa: derivo a função externa em relação à sua entrada (avaliada na entrada G(x)) e multiplico pela derivada da entrada G(x).
  • Derivadas elementares importantes:
    • Derivada de \arcsin(x):
    \frac{d}{dx}\big(\arcsin(x)\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad\text{para }-1<x<1.Intuição: a inclinação do arco-seno cresce quando x se aproxima de \pm1, daí o denominador com raiz.
    • Derivada de \operatorname{arccos}(u) (em função da variável u):
    \frac{d}{du}\big(\operatorname{arccos}(u)\big)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}},\qquad\text{para }-1<u<1.Atenção ao sinal negativo: arccos decresce quando u aumenta.
Vamos aplicar essas fórmulas com a regra da cadeia.

Passo 3

Cálculo de f'(x) passo a passo.
Defina a função interna
u(x)=\arcsin(x).
Então f(x)=\operatorname{arccos}\big(u(x)\big).
Usando a regra da cadeia,
f'(x)=\frac{d}{du}\big(\operatorname{arccos}(u)\big)\Big|_{u=u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo as derivadas conhecidas:
\frac{d}{du}\big(\operatorname{arccos}(u)\big)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}} \qquad\text{e}\qquad u'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Portanto
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-\big(\arcsin(x)\big)^{2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Juntando as raízes no denominador:
f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}\;\sqrt{1-\big(\arcsin(x)\big)^{2}}}.
Esse é o resultado da primeira derivada. Observação sobre domínio: é preciso -1<x<1 para que as derivadas das funções inversas estejam definidas (além disso \arcsin(x) sempre pertence a [-{\pi\over2},{\pi\over2}], então 1-(\arcsin x)^2>0 para valores típicos de x no intervalo aberto; em todo caso a expressão acima é a forma correta algébrica).

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada segunda f''(x)=\big(f'(x)\big)'. Vou proceder com calma e explicar cada regra usada.
Escrevemos f'(x) como um produto para facilitar a diferenciação:
f'(x)=-A(x)\,B(x),
onde
A(x)=(1-x^{2})^{-1/2},\qquad B(x)=\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)^{-1/2}.
Queremos f''(x)=-\big(A'(x)B(x)+A(x)B'(x)\big) (regra do produto).
Primeiro calculamos A'(x). Usamos a regra da cadeia na potência:
A(x)=(1-x^{2})^{-1/2}\quad\Rightarrow\quad A'(x)=-\tfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-3/2}\cdot(1-x^{2})'
e (1-x^{2})'=-2x. Logo
A'(x)=-\tfrac{1}{2}(1-x^{2})^{-3/2}\cdot(-2x)=x(1-x^{2})^{-3/2}.
Agora calculamos B'(x). Lembre que B depende de u(x)=\arcsin x:
B(x)=\big(1-u(x)^{2}\big)^{-1/2}.
Aplicando cadeia duas vezes:
B'(x)=-\tfrac{1}{2}\big(1-u^{2}\big)^{-3/2}\cdot(1-u^{2})'\quad\text{com}\quad (1-u^{2})'=-2u\,u',
portanto
B'(x)=-\tfrac{1}{2}\big(1-u^{2}\big)^{-3/2}\cdot(-2u\,u')=u\,u'\,(1-u^{2})^{-3/2}.
Substituindo u=\arcsin x e u'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} obtemos
B'(x)=\arcsin(x)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\cdot\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)^{-3/2}.

Passo 5

Agora juntamos tudo na fórmula do produto:
f''(x)=-\big(A'(x)B(x)+A(x)B'(x)\big).
Substituindo A,A',B,B':
f''(x)=-\Bigg[x(1-x^{2})^{-3/2}\cdot\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)^{-1/2} +\; (1-x^{2})^{-1/2}\cdot\arcsin(x)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\cdot\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)^{-3/2}\Bigg].
Simplificando o segundo termo (multiplicando as potências de (1-x^{2})):
(1-x^{2})^{-1/2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=(1-x^{2})^{-1}.
Assim
f''(x)=-\Bigg[x(1-x^{2})^{-3/2}\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)^{-1/2} + \arcsin(x)\,(1-x^{2})^{-1}\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)^{-3/2}\Bigg].
Podemos colocar em uma única fração comum para ficar mais compacto. Observando fator comum (1-x^{2})^{-3/2}\,(1-(\arcsin x)^{2})^{-3/2}, obtemos a forma simplificada
f''(x)=-\dfrac{x\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)+\arcsin(x)\sqrt{1-x^{2}}} {(1-x^{2})^{3/2}\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)^{3/2}}.
Essa expressão resulta das manipulações algébricas mostradas acima e é a derivada segunda explicitada.

Passo 6

Resumo final (formas mais usuais e fáceis de lembrar):
  • Primeira derivada:
f'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}\;\sqrt{1-(\arcsin x)^{2}}}.
  • Segunda derivada (forma simplificada):
f''(x)=-\dfrac{x\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)+\arcsin(x)\sqrt{1-x^{2}}} {(1-x^{2})^{3/2}\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)^{3/2}}.
Força aí — lembrar: muito do esforço é aplicar corretamente a regra da cadeia e a regra do produto. Se quiser, faço uma versão alternativa da segunda derivada com outra forma de fatoração para comparar.

Resposta

f'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}\;\sqrt{1-(\arcsin x)^{2}}}.
f''(x)=-\dfrac{x\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)+\arcsin(x)\sqrt{1-x^{2}}} {(1-x^{2})^{3/2}\big(1-(\arcsin x)^{2}\big)^{3/2}}.

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