Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo) f(x)=\operatorname{arccos} (\operatorname{arcsen}(x))
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada (e também a derivada segunda) da função dada. A função fornecida é
f(x)=\operatorname{arccos}\big(\arcsin(x)\big).
Informações que temos e que vamos usar:
A função interna é \arcsin(x).
A função externa é \operatorname{arccos}(u) com u=\arcsin(x).
Queremos f'(x) e f''(x).
Passo 2
Relembrando as regras que usaremos (com explicação didática e sem pular etapas):
Regra da cadeia: se f(x)=F(G(x)), então
f'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Isto significa: derivo a função externa em relação à sua entrada (avaliada na entrada G(x)) e multiplico pela derivada da entrada G(x).
Derivadas elementares importantes:
Derivada de \arcsin(x):
\frac{d}{dx}\big(\arcsin(x)\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad\text{para }-1<x<1.Intuição: a inclinação do arco-seno cresce quando x se aproxima de \pm1, daí o denominador com raiz.
Derivada de \operatorname{arccos}(u) (em função da variável u):
\frac{d}{du}\big(\operatorname{arccos}(u)\big)=-\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}},\qquad\text{para }-1<u<1.Atenção ao sinal negativo: arccos decresce quando u aumenta.
Vamos aplicar essas fórmulas com a regra da cadeia.
Esse é o resultado da primeira derivada. Observação sobre domínio: é preciso -1<x<1 para que as derivadas das funções inversas estejam definidas (além disso \arcsin(x) sempre pertence a [-{\pi\over2},{\pi\over2}], então 1-(\arcsin x)^2>0 para valores típicos de x no intervalo aberto; em todo caso a expressão acima é a forma correta algébrica).
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada segunda f''(x)=\big(f'(x)\big)'. Vou proceder com calma e explicar cada regra usada.
Escrevemos f'(x) como um produto para facilitar a diferenciação:
Podemos colocar em uma única fração comum para ficar mais compacto. Observando fator comum (1-x^{2})^{-3/2}\,(1-(\arcsin x)^{2})^{-3/2}, obtemos a forma simplificada
Força aí — lembrar: muito do esforço é aplicar corretamente a regra da cadeia e a regra do produto. Se quiser, faço uma versão alternativa da segunda derivada com outra forma de fatoração para comparar.