Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{c}, \mathrm{e}, \mathrm{g}, \mathrm{k} calcule também a derivada segunda. (OBS: Dada y=f(x) dizemos que a derivada segunda de f é, por definição, a derivada de f^{\prime}, e denotamos por f^{\prime \prime}. Isto é: f^{\prime \prime}(x)=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}(x). Em sala (segunda-feira), irei frizar esse conceito, mas já pode utilizá-lo) y=\ln \left(\operatorname{sen}^{2}(x)\right)
Passo 1
O enunciado dá a função
y=\ln\!\big(\operatorname{sen}^2(x)\big)
e pede a(s) derivada(s). Vou tratar tanto a derivada primeira y' quanto a derivada segunda y''. Observação sobre domínio: a função está definida quando \sin(x)\neq0 (pois \sin^2(x)>0 é necessário para o logaritmo natural).
Passo 2
Vamos lembrar as regras que usaremos (vou explicar cada uma de forma bem direta):
Derivada do logaritmo: se y=\ln(u(x)), então, pela regra da cadeia,
y'=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é qualquer função diferenciável diferente de zero.
Derivada de u(x)=\sin^2(x): podemos aplicar a regra da cadeia também. Se u(x)=v(x)^2 com v(x)=\sin x, então
u'(x)=2v(x)\,v'(x)=2\sin(x)\cos(x).
Derivada da função seno: \dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
Identidade trigonométrica útil: \dfrac{\sin(2x)}{2}=\sin(x)\cos(x) (opcional para simplificar).
Alternativa de simplificação: usar a propriedade do logaritmo
\ln\!\big(\sin^2 x\big)=2\ln\!\big|\sin x\big|,
pois \sin^2 x=(\sin x)^2 e \ln(a^2)=2\ln|a|. Essa forma às vezes torna a diferenciação mais direta.
Derivada de \cot x: \dfrac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x, onde \csc x=1/\sin x.
Passo 3
Vamos calcular y' usando a regra do logaritmo e a cadeia (método direto com u=\sin^2 x).
Reconhecendo a função trigonométrica, \dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x. Portanto
y'=2\cot x.
Comentário didático curto: outra forma — usar \ln(\sin^2 x)=2\ln|\sin x| e derivar \dfrac{d}{dx}2\ln|\sin x|=2\cdot\frac{1}{\sin x}\cos x=2\cot x — dá o mesmo resultado e pode ser mais intuitiva em provas.
Passo 4
Agora calculamos y'', a derivada de y'. Como encontramos y'=2\cot x, derivamos isso:
Podemos também escrever \csc^2 x como \dfrac{1}{\sin^2 x}, então uma forma equivalente é
y''=-\frac{2}{\sin^2 x}.
Passo 5
Resumo das condições de existência: as expressões encontradas usam \cot x e \csc^2 x, portanto são válidas onde \sin x\neq0, que é exatamente o domínio da função original.