Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens
calcule também a segunda derivada:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a primeira e a segunda derivada. Vou listar claramente o que é pedido:
- Calcular
(a derivada primeira). - Calcular
(a derivada segunda).
Passo 2
Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Regra da cadeia: se
então
Isto significa que derivamos a função externa em relação à sua entrada e multiplicamos pela derivada da função interna.
- Derivada de uma exponencial de base
: se então
Aqui
é o logaritmo natural de
e aparece porque a derivada de
em relação a
é
.
- Regra do produto (usaremos no segundo passo): se
então
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Identificar a função interna e sua derivada:
- A função pode ser vista como
com
- Calcular
:
Agora aplicar a fórmula da derivada de
com
:
Substituindo
e
obtemos
Arrumando a ordem dos fatores:
Passo 4
Para achar
vamos derivar
. Escrevo
destacando uma constante para aplicar a regra do produto com clareza:
- Defina
. Então
Queremos
. Como
é constante:
Passo 5
Aplicar a regra do produto a
:
- Primeiro termo: derivada de
é , então contribui . - Segundo termo:
vezes a derivada de . Já sabemos como derivar : pela regra da cadeia,
Portanto a derivada do produto é
Fatorando
:
Agora multiplicar por
:
Passo 6
Podemos apresentar
também em forma expandida, se preferir:
Ambas as formas são equivalentes; a escolha é de estilo.