Calcule a derivada das seguintes funções; nos itens \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} calcule também a segunda derivada:
m(x)=10^{\left(1-x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função
m(x)=10^{\left(1-x^{2}\right)}
e pede a primeira e a segunda derivada. Vou listar claramente o que é pedido:
  • Calcular m'(x) (a derivada primeira).
  • Calcular m''(x) (a derivada segunda).

Passo 2

Relembrando as ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Regra da cadeia: se y=f(g(x)) então
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
Isto significa que derivamos a função externa em relação à sua entrada e multiplicamos pela derivada da função interna.
  • Derivada de uma exponencial de base a>0: se y=a^{u(x)} então
\frac{dy}{dx}=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u'(x).
Aqui \ln(a) é o logaritmo natural de a e aparece porque a derivada de a^{t} em relação a t é a^{t}\ln(a).
  • Regra do produto (usaremos no segundo passo): se h(x)=p(x)q(x) então
h'(x)=p'(x)q(x)+p(x)q'(x).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Identificar a função interna e sua derivada:
  • A função pode ser vista como m(x)=10^{u(x)} com
u(x)=1-x^{2}.
  • Calcular u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(1-x^{2})=0-2x=-2x.
Agora aplicar a fórmula da derivada de a^{u(x)} com a=10:
m'(x)=10^{u(x)}\ln(10)\cdot u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x) obtemos
m'(x)=10^{1-x^{2}}\ln(10)\cdot(-2x).
Arrumando a ordem dos fatores:
m'(x)=-2x\ln(10)\,10^{1-x^{2}}.

Passo 4

Para achar m''(x) vamos derivar m'(x). Escrevo m'(x) destacando uma constante para aplicar a regra do produto com clareza:
  • Defina C=-2\ln(10). Então
m'(x)=C\,x\,10^{1-x^{2}}.
Queremos m''(x)=\frac{d}{dx}\big(C\,x\,10^{1-x^{2}}\big). Como C é constante:
m''(x)=C\cdot\frac{d}{dx}\big(x\,10^{1-x^{2}}\big).

Passo 5

Aplicar a regra do produto a x\cdot 10^{1-x^{2}}:
  • Primeiro termo: derivada de x é 1, então contribui 1\cdot 10^{1-x^{2}}=10^{1-x^{2}}.
  • Segundo termo: x vezes a derivada de 10^{1-x^{2}}. Já sabemos como derivar 10^{1-x^{2}}: pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}10^{1-x^{2}}=10^{1-x^{2}}\ln(10)\cdot(-2x)=-2x\ln(10)\,10^{1-x^{2}}.
Portanto a derivada do produto é
\frac{d}{dx}\big(x\,10^{1-x^{2}}\big)=10^{1-x^{2}}+x\big(-2x\ln(10)\,10^{1-x^{2}}\big).
Fatorando 10^{1-x^{2}}:
\frac{d}{dx}\big(x\,10^{1-x^{2}}\big)=10^{1-x^{2}}\big(1-2x^{2}\ln(10)\big).
Agora multiplicar por C=-2\ln(10):
m''(x)=-2\ln(10)\;10^{1-x^{2}}\big(1-2x^{2}\ln(10)\big).

Passo 6

Podemos apresentar m''(x) também em forma expandida, se preferir:
m''(x)=10^{1-x^{2}}\big(-2\ln(10)+4x^{2}\ln^{2}(10)\big).
Ambas as formas são equivalentes; a escolha é de estilo.

Resposta

m'(x)=-2x\ln(10)\,10^{1-x^{2}}\n
m''(x)=-2\ln(10)\,10^{1-x^{2}}\big(1-2x^{2}\ln(10)\big)

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