Calcule a derivada das seguintes funções:
(l) r(t)=\frac{1}{2 \sin (t)-4 \cos (t)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
r(t)=\frac{1}{2\sin t - 4\cos t}.
O conteúdo fundamental aqui é a regra da cadeia, pois podemos enxergar r(t) como uma função composta do tipo r(t)=h(t)^{-1}, onde h(t)=2\sin t -4\cos t.

Passo 2

Reescrevemos
r(t) = \bigl(h(t)\bigr)^{-1}
e aplicamos a regra da cadeia:
r'(t) = -1 \cdot \bigl(h(t)\bigr)^{-2} \cdot h'(t).

Passo 3

Agora calculamos h'(t). Como
h(t)=2\sin t -4\cos t,
temos
h'(t) = 2\cos t + 4\sin t.

Passo 4

Substituindo h(t) e h'(t) em r'(t), obtemos
r'(t) = -\frac{2\cos t + 4\sin t}{\bigl(2\sin t - 4\cos t\bigr)^{2}}.

Resposta

r'(t) = -\frac{2\cos t + 4\sin t}{\bigl(2\sin t - 4\cos t\bigr)^{2}}.

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