Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado.
f(x)=7 x^{2}+8 x^{-6}+2 x em x=1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=7x^{2}+8x^{-6}+2x
e pede a reta tangente ao seu gráfico no ponto de abscissa x=1. Para isso, precisamos calcular o valor da função em x=1, isto é f(1), e a derivada f'(x) avaliada em x=1, que será a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente.

Passo 2

Calculando o valor da função em x=1:
f(1)=7\cdot1^{2}+8\cdot1^{-6}+2\cdot1=7+8+2=17.

Passo 3

Derivando f(x):
f(x)=7x^{2}+8x^{-6}+2x
Aplicamos a regra do poder para cada termo:
\frac{d}{dx}[7x^{2}]=14x,\quad \frac{d}{dx}[8x^{-6}]=8\cdot(-6)x^{-7}=-48x^{-7},\quad \frac{d}{dx}[2x]=2.
Logo,
f'(x)=14x-48x^{-7}+2.

Passo 4

Avaliando a derivada em x=1:
f'(1)=14\cdot1-48\cdot1^{-7}+2=14-48+2=-32.
Portanto, a inclinação da reta tangente é -32.

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto (1,f(1))=(1,17) com coeficiente angular -32 é dada por
y-17=-32\,(x-1).
Podemos escrever em forma explícita:
y=-32x+32+17\quad\Longrightarrow\quad y=-32x+49.

Resposta

A reta tangente é
y-17=-32\,(x-1)
ou, equivalentemente,
y=-32x+49.

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