Calcule a derivada das seguintes funções.
\ln \left(x^{3} \cos (x)\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\bigl(x^{3}\cos(x)\bigr)
O conteúdo principal é derivada de logaritmo e função composta. Vamos usar duas ideias:
  1. Propriedade de logaritmo do produto.
  2. Regra da cadeia para \ln(u), cuja derivada é u'/u.

Passo 2

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, escrevemos
\ln\bigl(x^{3}\cos(x)\bigr)=\ln\bigl(x^{3}\bigr)+\ln\bigl(\cos(x)\bigr)
E, como \ln(x^{3})=3\ln(x), obtemos
f(x)=3\ln(x)+\ln\bigl(\cos(x)\bigr).

Passo 3

Agora diferenciamos o termo 3\ln(x). Usando \bigl(\ln(x)\bigr)'=1/x, vem
\bigl(3\ln(x)\bigr)'=3\cdot\frac{1}{x}=\frac{3}{x}.

Passo 4

Em seguida, diferenciamos \ln\bigl(\cos(x)\bigr) pela regra da cadeia. Se g(x)=\cos(x), então
\bigl(\ln(g(x))\bigr)'=\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x).

Passo 5

Somando as duas derivadas, ficamos com
f'(x)=\frac{3}{x}-\tan(x).

Resposta

f'(x)=\frac{3}{x}-\tan(x).

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