Calcule a derivada das seguintes funções.
x^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^x. Aqui o conteúdo é derivação de funções em que tanto a base quanto o expoente dependem de x. Para resolver, vamos usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Defina y=x^x e aplique o logaritmo natural em ambos os lados. Assim,
\ln y = \ln\bigl(x^x\bigr) = x\,\ln x.

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, a derivada de \ln y é \frac{1}{y}y'. No lado direito, usando a regra do produto em x\ln x, obtemos
\frac{1}{y}y' = \ln x + 1.

Passo 4

Isolando y', temos
y' = y\,(\ln x + 1).
Como y=x^x, concluímos que
y' = x^x(\ln x + 1).

Resposta

f'(x)=x^x(\ln x+1)

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