Calcule a derivada das seguintes funções.
e^{2 x} x^{3} \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^{2x}\,x^{3}\ln(x).
O conteúdo usado será a regra do produto para três fatores e a regra da cadeia (para derivar e^{2x}).

Passo 2

Vamos chamar
u(x)=e^{2x},\quad v(x)=x^{3},\quad w(x)=\ln(x).
Pela regra do produto para três funções,
f'(x)=u'(x)\,v(x)\,w(x)+u(x)\,v'(x)\,w(x)+u(x)\,v(x)\,w'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada fator:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}=2e^{2x}, \quad v'(x)=\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}, \quad w'(x)=\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x)
obtemos
f'(x)=2e^{2x}\,x^{3}\ln(x) +e^{2x}\,3x^{2}\ln(x) +e^{2x}\,x^{3}\frac{1}{x}.

Passo 5

Agora fatoramos e^{2x}x^{2} em comum:
f'(x) =e^{2x}x^{2}\bigl(2x\ln(x)+3\ln(x)+1\bigr) =e^{2x}x^{2}\bigl((2x+3)\ln(x)+1\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{2x}x^{2}\bigl((2x+3)\ln(x)+1\bigr).

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